Berechnungen bei einem Goldenen Rechteck, einem Rechteck, bei dem das Verhältnis der beiden Seitenlängen zueinander im Goldenen Schnitt steht. Der Goldene Schnitt ist definiert durch die Gleichung (a+b)/a = a/b, er beträgt etwas über 1,6. Geben Sie einen Wert ein, runden Sie bei Bedarf und klicken Sie auf Berechnen.
Formeln:
b = a / φ
d = √ a² * ( 1 + 1/φ² )
u = 2a * ( 1 + 1/φ )
A = a² / φ
Längen und Umfang haben die gleiche Einheit (beispielsweise Meter), der Flächeninhalt hat diese Einheit zum Quadrat (beispielsweise Quadratmeter).
Wenn man einem Goldenen Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge der kürzeren Rechteckseite entfernt, dann entsteht wieder ein Goldenes Rechteck. Wird eine Strecke im Goldenen Schnitt geteilt, dann entstehen zwei neue Strecken mit der Eingenschaft, dass das Verhältnis der längeren zur kürzeren neuen Strecke genau so ist wie das Verhältnis der ursprünglichen Gesamtstrecke zur längeren neuen Strecke. Der goldene Schnitt findet sich unter anderem in der Fibonacci-Folge und wurde viel in Architektur und Kunst verwendet, da er besonders ästhetisch sein soll. Er war bereits in der Antike bekannt, seine Irrationalität wurde bereits bei Euklid bewiesen. Er wurde aber erst in der Renaissance populär und gezielt eingesetzt. Die Konstante des Goldenen Schnittes phi wird auch als irrationalste aller Zahlen bezeichnet, die sich am weitesten weg von ihren rationalen Nachbarn befindet. Ihre Kettenbruchentwicklung enthält nur Einsen, sie lautet 1 + ( 1 / ( 1 + ( 1 / ( 1 + (...) ) ) ) ).
Wenn man bei einen regelmäßigen Ikosaeder zwei benachbarte Ecken miteinander verbindet und dann ein Rechteck zu den beiden gegenüber liegenden Ecken bildet, dann ist dies ein Goldenes Rechteck. In den Formeln zum Ikosaeder taucht auch häufig die Wurzel aus 5 auf, wie in der Konstanten phi. Der Goldene Schnitt findet sich auch im Pentagramm, hier ist aber kein Goldenes Rechteck zu finden.